1951年至1952年的岁月，在普林斯顿高等研究院，如同一条在地底汹涌奔腾的暗河，表面平静，内里却积蓄着即将破土而出的、改天换地的巨大能量。塞尔伯格在黎曼奖空缺后所划分的三个战略方向，如同三支深入未知疆域的勘探队，在沉寂中进行着极其艰苦的掘进。其中，由塞尔伯格亲自率领的、主攻“几何迹公式严格化”的第一方向，无疑是整个学派命运的枢纽，是投入最精锐力量、承载最厚重期望的“主巷道”。这是一段外人难以想象的、充满挫折、迷茫与灵光一闪的攻坚岁月。研讨室的灯光常亮至深夜，黑板上写满又擦去的符号如潮汐般更迭，废弃的草稿纸堆积如山。空气中弥漫着浓咖啡、粉笔灰以及高度智力消耗后特有的、混合着疲惫与兴奋的气息。
突破的征兆，并非一蹴而就。它始于对“优秀坐标系”这一关键概念的深度挖掘。塞尔伯格和他的核心团队——包括几位在微分几何与李群表示论上有着非凡造诣的年轻数学家——不再满足于将“调制函数F(s)”视为一个灵巧的黑箱操作。他们开始系统地追问：如果F(s)的选择真的等价于在抽象的“艾莎流形”m上选取一组特殊的坐标系，那么这组坐标系必须满足什么样的内蕴几何条件，才能使得经典的塞尔伯格迹公式，从一个分析的奇迹，转变为一个几何的必然？
答案的线索，隐藏在双曲几何的深刻结构中。他们逐渐将目光聚焦于一类特殊的黎曼流形——紧致负曲率流形。在这类流形上，测地流具有强烈的混沌性，而闭合测地线的集合则蕴含了流形丰富的拓扑与谱信息。这与人们对ζ函数零点分布复杂性的认知产生了强烈的共鸣。他们提出了一个大胆的假设：黎曼ζ函数所对应的“艾莎流形”m_ζ，可能具有（或可被逼近为）一个负常曲率（即双曲）的几何结构。
这一假设，如同在黑暗中点亮了一座灯塔。它将一个虚无缥缈的“几何化身”，与一个拥有强大工具和丰富结论的、已被深入研究的具体几何领域联系了起来。在双曲流形上，塞尔伯格迹公式 早已被证明是一个严格的定理！其经典形式，将流形上拉普拉斯算子谱的某些信息，与流形上所有闭合测地线的几何长度联系起来。
然而，经典的双曲迹公式处理的是自守形式的谱，与黎曼ζ函数看似相距甚远。学派面临的核心挑战是：如何将处理黎曼ζ函数的解析迹公式，与双曲几何的迹公式，在数学上精确地“对接”起来？
这场攻坚战的惨烈程度，超乎想象。它需要将数论中精密的指数和估计、复分析的精密渐近展开，与微分几何中的测地流动力系统、李群作用于齐性空间的理论进行深度的、几乎是硬生生的“焊接”。无数个夜晚，演算在某个看似关键的积分估计处崩溃；无数个构想，在严格的相容性检验前化为泡影。塞尔伯格以其近乎冷酷的严格性，否决了一个又一个不够完美的“近似”方案。他要的不是一个“像”的类比，而是一个数学上无可指摘的、精确的对应。
转机出现在一个寒冷的冬夜。一位年轻的几何学家，在反复研究双曲迹公式的证明结构时，突然意识到：经典公式中对闭合测地线γ的求和项里，包含一个由γ的长度l(γ) 和其本原长度决定的权重因子，这个因子恰好与素数定理中冯·曼戈尔特函数Λ(n) 的结构有着惊人的相似性！而公式中自然出现的双曲正弦函数sinh(l(γ)\/2)，其在临界点附近的渐近行为，似乎能够“吸收”掉黎曼ζ函数函数方程中的Gamma因子所带来的复杂性！
这个洞察如同闪电，瞬间照亮了拼图的关键一块。紧接着，团队中的分析高手发现，塞尔伯格原始迹公式中的调制函数F 的选择，在几何视角下，恰好对应于在测地线长度空间上选择一个适当的检验函数。而为了与ζ函数对接，这个检验函数需要具有特定的形式，其中很可能包含一个贝塞尔函数J_0，这个函数恰恰是波动方程在径向对称情况下的基本解，与双曲空间上的波动传播密切相关！而公式中出现的 log x 项，则自然而然地与尺度变换联系起来，对应着数论中的计数函数的变量。
灵感一旦爆发，便如洪水决堤。在接下来的数月里，整个团队进入了疯狂的创造性喷发期。公式的碎片开始以惊人的速度聚合、对榫、严丝合缝地拼接在一起。塞尔伯格坐镇中枢，以他无与伦比的洞察力和严密性，协调着各方的进展，确保每一步推导都坚如磐石。
终于，在1952年一个深秋的下午，当最后一项误差估计被完美地限定，当公式两端的解析形式（对素数幂的求和）与几何形式（对闭合测地线的求和）在数学上被证明完全等价时，研讨室内陷入了一片死寂。
塞尔伯格缓缓放下粉笔，转过身，面向他疲惫不堪但眼中燃烧着火焰的团队成员们。他没有说话，只是用粉笔，在黑板的中央，庄重地、清晰地写下了那个凝聚了两年心血、跨越了解析与几何巨大鸿沟的、最终的形式：
I_F(x) = Σ_{γ} Λ(γ) \/ (2 sinh(l(γ)\/2)) * F(l(γ)) * J_0(l(γ) log x)
其中：
I_F(x) 是包含素数分布信息的某个解析量。
Σ_{γ} 是对流形上所有本原闭合测地线的求和。
Λ(γ) 是与测地线γ的“长度”相关的权重，类比于数论中的冯·曼戈尔特函数。
2 sinh(l(γ)\/2) 是源自双曲几何的固有几何因子。
F(l(γ)) 是定义在测地线长度空间上的检验函数（即“调制”的几何化身）。
J_0(l(γ) log x) 是贝塞尔函数，连接了几何长度与数论尺度。
沉默持续了足足一分钟。然后，不知道是谁先开始，掌声响了起来。起初是迟疑的，接着变得无比热烈、持久，充满了难以言喻的激动与释然。这不是庆祝，这是一种见证历史诞生的震撼。他们亲手铸造了一座连接两个数学大陆的永恒桥梁。
当塞尔伯格在不久后的学派内部会议上正式公布这一成果时，引起的震动是空前的。赫尔曼·外尔凝视着那个公式，久久不语，最终长叹一声：“艾莎的愿景……至此，方可谓真正落地。” 埃利·嘉当则仔细检查了每一个几何细节，缓缓点头：“完美。 几何的必然性，终于支配了分析的技巧。”
这座“丰碑”的落成，其意义怎么形容都不为过：
范式的胜利：它标志着“解析拓扑动力学”从一个哲学构想、一个启发式纲领，彻底转变为一种具有严格数学表述和强大计算能力的、可操作的理论框架。艾莎·黎曼的思想，在近半个世纪后，得到了辉煌的实证。
工具的飞跃：它提供了一个统一的平台。数论学家可以通过研究具体的、可计算的双曲流形（或更一般的负曲率流形）上的测地线长度分布，来间接地、但却是几何地研究素数分布的深层次规律。反之，对ζ函数解析性质的深入了解，也可以反馈给几何，帮助理解这类流形的谱与拓扑。
路径的开辟：它极大地增强了数学家们对黎曼猜想的信心。如果ζ函数的性质真的可以通过某个双曲流形的几何来反映，那么黎曼猜想（零点在临界线上）就可能等价于该流形的拉普拉斯算子谱具有某种特殊的性质。这为攻克猜想开辟了一条全新的、几何化的路径。
零点的未尽之路旁，一座名为“几何迹公式”的宏伟丰碑就此落成。它并非终点，而是一个全新的起点。它照亮了前方的道路，告诉所有后来者：数与形的统一，并非遥不可及的梦想，而是已经铺就的、可以坚实迈步的康庄大道。 艾莎学派的远征，因此进入了一个全新的、加速前进的阶段。
（第三卷上篇 第十三章 终）